Seminarium Zakładu Geometrii

W ramach seminarium Zakładu Geometrii zapraszamy na odczyt, który wygłosi prof. Łukasz Rudnicki (UG):

Praktycznie wszystkie liniowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu da się "rozwiązać" poprzez geodezyjne na półpłaszczyźnie hiperbolicznej

Odczyt odbędzie się w środę, 23 kwietnia, o godzinie 12:15 w sali A301.

Informacje o poprzednich odczytach można znaleźć na stronie seminarium.

Abstrakt: W trakcie seminarium omówię wyniki z dwóch preprintów [arXiv:2503.17816] i [arXiv:2503.19415], dotyczące równania u''(x) + h(x) u(x) = 0. Zacznę od dyskusji ogólności badanego równania po czym wprowadzę rodzinę metryk na półpłaszczyźnie, zdefiniowaną poprzez funkcję h(x). Pokażę, że te metryki mają krzywiznę równą -1, innymi słowy lokalnie opisują tę samą geometrię hiperboliczną. Jako główny wynik podam ogólne rozwiązanie badanego równania różniczkowego wyrażone przez krzywe geodezyjne w zaproponowanym modelu dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej. Pokażę także, iż dowolna para liniowo niezależnych rozwiązań pozwala na zbudowanie lokalnego dyfeomorfizmu pomiędzy wprowadzoną geometrią, a półpłaszczyzną Poincare. W drugiej części omówię podejście równoważne, w którym hiperboliczna geometria riemannowska zostaje zastąpiona analogiczną geometrią lorentzowską. Co ciekawe, w tym drugim modelu rozwiązania stowarzyszonego równania Ricattiego same w sobie są geodezyjnymi. W ostatniej części przejdę do riemannowskiej geometrii zespolonej z holomorficzną metryką, co pozwala uogólnić poprzednie wyniki na przypadek zespolony z holomorficzną funkcją h(z). Co ciekawe, badana geometria jest lokalnie tożsama z geometrią sfery zespolonej o promieniu urojonym.